Fabrication de T-shirts éco-responsables

Chantal souhaite créer son entreprise de T-shirts éco-responsables pour sensibiliser les jeunes de son association de judo à la protection de la planète. Elle a estimé que le coût de production dépend du nombre de T-shirts fabriqués. Ce coût est modélisé par la fonction : \(C(x) = 0{,}8x^2-28x+150\) définie sur l'intervalle \([0\ ;50]\) où `x` représente le nombre de centaines de T-shirts produits (par exemple si `x = 2`, cela représente 200 T-shirts).

Le prix de vente d'un t-shirt est fixé à 40 euros. Il est modélisé par la fonction `V(x) = 40x`.

Problématique : pour combien de T-shirts produits Chantal réalise-t-elle un bénéfice maximal ?

1. Déterminer le coût de production pour 100 T-shirts puis pour 3 000 T-shirts.

2. Déterminer le chiffre d'affaires réalisé pour 100 T-shirts puis pour 3 000 T-shirts.

3. En déduire le résultat obtenu pour la fabrication de 100 T-shirts puis préciser si l'entreprise a réalisé ou non un bénéfice.

4. En déduire le résultat obtenu pour la fabrication de 3 000 T-shirts puis préciser si l'entreprise a réalisé ou non un bénéfice.

5. On considère la fonction `R(x)` représentant le résultat réalisé par l'entreprise.

Montrer que la formule algébrique de cette fonction est \(R(x) = -0{,}8x^2 + 68x - 150\).

Coup de pouce 1 : une perle est là pour vous aider si besoin !

6. Tracer la courbe représentative de la fonction \(R\) à l'aide de NumWorks.

7. À l'aide du graphique, déterminer si la fonction `R` admet un minimum ou un maximum. Préciser sa valeur.

Coup de pouce 2 : une perle est là pour vous aider si besoin !

8. Concrètement, par rapport au problème posé par l'énoncé, à quoi correspond la valeur trouvée à la question 7 ?

9. Répondre à la problématique.